Aritmetica dell'orologio o modulare

Alla partenza il programma ci chiederà il numero di ore del nostro orologio. Il valore predefinito è 12. Inoltre si potranno assegnare i valori iniziali di \(a\) e \(b\). Una volta assegnati questi valori premi il tasto Genera. Il colore associato ad \(a\) nell'orologio è il rosso. Quello associato a b è il blu. Se \(a\) e \(b\) hanno la stessa posizione sull'orologio l'ora corrispondente si colorerà di fucsia. In generale due numeri \(a\) e \(b\) sono congruenti fissato un numero \(m\) (le ore di un orologio) se la divisione di \(a\) per \(m\) e la divisione di \(b\) per \(m\) danno lo stesso resto. Cioè ad esempio \[1\equiv 13 \mod 12\] Una nota storica: La definizione del simbolo di congruenza, \(\equiv\), e le sue proprietà vennero introdotte da C.F. Gauss agli inizi del XVIII secolo. In formule: Si dice che due numeri \(a, b\in N\) sono congrui modulo \(m\) e si scrive \[a\equiv b \mod m\] se esistono \(q, q'\) tali che \[a=mq+r,\, b=mq'+r,\, 0\leq r\leq m-1\] o equivalentemente se esiste \(q\) tale che \[ a-b=mq\mbox{ con } a>b. \]

Nota bene: con \(N\) si intende l'insieme dei numeri naturali. In generale la definizione può essere data anche per l'insieme \(Z\) dei numeri interi (cioè con segno).