Esistono varie definizioni di Probabilità. Qui diamo una versione semplificata della Probabilità Matematica. Essa è un sistema di assiomi definiti dal matematico Kolmogorov (1933). Tale sistema è basato sul concetto di partizione di un insieme \(\Omega\), tale insieme "modelizza" il nostro oggetto di studio. Presentiamo due esempi di partizoni di \(\Omega\).

Esempio 1. Lancio di un dado (pari e dispari)

Nel lancio di un dado con 6 facce possiamo definire

\[\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\].

Una partizione di \(\Omega\) potrebbe essere data dai due eventi

• \(E_d=\{x\in \Omega: x \mbox{ dispari}\}=\{1,3,5\}\), 
• \(E_p=\{x\in \Omega: x\mbox{ pari}\}=\{2,4,6\}\).

Esempio 2. Due lanci di una moneta

Due lanci di una moneta con due facce \(\{T,C\}\) (vedi disposizioni con ripetizione)

\[\Omega=\{(T,T),(T,C),(C,T),(C,C)\}\]

Una partizione di \(\Omega\) è data dai tre eventi :

• \(T_0=\{\mbox{T non esce}\}=\{(C,C)\},\)
• \(T_1=\{\mbox{T  esce una sola volta}\}=\{(T,C),(C,T)\},\)
• \(T_2=\{\mbox{T  esce due volte}\}=\{(T,T)\}.\)

Eventi incompatibili

 Gli eventi appartenenti ad una partizione soddisfano la condizione 1 delle partizioni (vedi), cioè \(E_i\cap E_j=\emptyset\). Essi vengono detti incompatibili. Cioè non può mai avvenire l'uno "e" l'altro. La loro intersezione è l'insieme vuoto.

Definizione ed Assiomi

Sia \(\Omega\) un insieme, detto spazio degli eventi, e sia \(E_1,\ldots,E_n\) una partizione di \(\Omega\). Definiamo una funzione \(P(X)\), detta probabilità, che ad un evento \(E\subset \Omega\) restituisca un valore numerico. Tale funzione deve soddisfare i seguenti assiomi:

• (A1) \(P(E)\geq 0\) per ogni \(E\subseteq \Omega\);
• (A2) \(P(E_i\cup E_j)=P(E_i)+P(E_j)\) per ogni \(i\neq j\);
• (A3) \(P(\Omega)=P(E_1\cup E_2\cup\ldots\cup E_n)=P(E_1)+P(E_2)+\ldots+P(E_n)=1\).

Esempio 1. Lancio di un dado (pari e dispari)

Sia \(E_1=\{1\}\), \(E_2=\{2\}\),...,\(E_6=\{6\}\) Definiamo la probabilità (assioma A1) \[P(E_i)=1/6 \mbox{ per ogni }i=1,\ldots,6.\] A questo punto, calcoliamo che esca un numero dispari grazie all'assioma  A2,

\[P(E_d)=P(E_1\cup E_3\cup E_5)=P(E_1)+P(E_3)+P(E_5)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.\]

Esempio 2. Due lanci di una moneta

 

Sia \(E_1=\{(T,T)\}\), \(E_2=\{(T,C)\}\), \(E_3=\{(C,T)\}\), \(E_4=\{(C,C)\}\). Definiamo la probabilità (assioma A1) \[P(E_i)=1/4 \mbox{ per ogni }i=1,\ldots,4.\] A questo punto, calcoliamo che esca 0, 1, 2 volte testa in 2 lanci. Grazie all'assioma  A2,

• \(P(T_0)=P(E_1)=\frac{1}{4}\);
• \(P(T_1)=P(E_2\cup E_3)=P(E_2)+P(E_3)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\);
• \(P(T_2)=P(E_4)=\frac{1}{4}\).

Probabilità degli eventi complementari

L'assioma A3 associa all'evento certo \(\Omega\) la probabilità 1. Ma questo assioma ha anche una  diretta conseguenza. Supponiamo che due eventi \(E_1, E_2\), siano tra loro complementari cioè che \(E_1\cup E_2=\Omega\) e che \(E_1\cap E_2=\emptyset\) (cioè che \(E_1,E_2\) sia una partizione di \(\Omega\)). Grazie all'assioma A3 avremo

\[P(E_1)=1-P(E_2).\]

 

Questa equazione è molto utile quando il calcolo della probabilità di un evento è ignota (o complessa da calcolare) ma quella del suo complementare è nota (o più semplice da calcolare). In generale si usa la notazione \(\overline{E}\) per il complementare di \(E\).

Esempio. Due lanci di una moneta

Vogliamo calcolare la probabilità che non esca per due volte consecutive testa, cioè \(P(\overline{T}_2)\). L'evento complementare è che esca due volte testa, \(P(T_2)=\frac{1}{4}\).

Dunque 

\[P(\overline{T}_2)=1-P(T_2)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.\]

 

Teorema della somma

Se due eventi \(A\) e \(B\) sono incompatibili per l'assioma A2 avremo che \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\). E se questi non sono incompatibili, cioè se \(A\cap B\neq \emptyset\) ?

In questo caso la somma \(P(A)+P(B)\) conta l'evento \(A\cap B\) due volte, cioè una volta di troppo. Il teorema della somma infatti dice che

\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\]

 

Esempio. Dado con 20 facce.

Consideriamo il lancio di un dado con 20 facce numerate da 1 a 20 (tale dado esiste e si chiama icosaedro e guarda caso è il logo del mio sito!). Consideriamo gli eventi

• \(A\) "esce un numero multiplo di 4",  dunque \(A=\{4,8,12,16,20\}\)
• \(B\) "esce un multiplo di 5", dunque \(B=\{5,10,15,20\}\)

Qual è la prbabilità di \(A\cup B\)? Osservando che \(A\cap B=\{20\}\), dalla formula otteniamo

\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{5}{20}+\frac{4}{20}-\frac{1}{20}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}.\]

 

 

Probabilità condizionata

Siano \(A\) e \(B\) due eventi sottoinsiemi di \(\Omega\). La probabilità condizionata è la probabilità che accada l'evento \(A\) sotto la condizione che \(B\) si sia verificato, e si scrive

\[P(A|B).\]

E' possibile calcolare \(P(A|B)\) conoscendo \(P(A\cap B)\) e \(P(B)\). Infatti

\[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.\]

Tale formula è deducibile osservando che una volta che l'evento \(B\) sia verificato esso è a tutti gli effetti il nuovo insieme \(\Omega\). Dunque, ad esempio se \(B\subseteq A\), \(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(B)}{P(B)}=1\), come si verifica facilmente. Per fissare le idee considera il seguente 

Esempio 1. \(B\subseteq A\)

Consideriamo il lancio di un dado con sei facce. Sia \(A\) l'evento "è uscito un numero minore o uguale a 5" e \(B\) l'evento "è uscito un numero dispari". In questo caso se \(B\) si è verificato automaticamente anche \(A\) è verificato. Dunque \(P(A|B)=1\).

 

Se gli eventi \(A\) e \(B\) sono incompatibili, cioè se \(A\cap B=\emptyset\)  allora \(P(A|B)=0\). Infatti \(P(A\cap B)=P(\emptyset)=0\).   

Esempio 2. \(A\cap B=\emptyset\)

Consideriamo il lancio di un dado con sei facce. Sia \(A\) l'evento "è uscito 2" e \(B\) l'evento "è uscito un numero dispari". In questo caso se \(B\) si è verificato automaticamente \(A\) avrà probabilità nulla. Cioè la probabilità che esca il due nella condizione certa che è uscito un numero dispari è banalmente \(P(A|B)=0\).

 

Se gli eventi \(A\) e \(B\) non sono incompatibili, cioè se \(A\cap B\neq\emptyset\)  allora \(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\).

 

Esempio 3. \(A\cap B\neq\emptyset\)

Consideriamo il lancio di un dado con sei facce. Sia \(A\) l'evento "è uscito 3" e \(B\) l'evento "è uscito un numero dispari". In questo caso se \(B\) si è verificato la probabiltà di \(A\) aumenta. Cioè il nuovo \(\Omega\) diventa \(B\). Dunque la probabilità di \(P(A|B)\) è la probabilità che esca il 3 nella condizione certa che è uscito un numero dispari. Dunque \(\Omega=B=\{1,3,5\}\) e \(P(A|B)=\frac{1}{3}\). Usando la formula ed osservando che \(P(B)=\frac{1}{2}\), \(P(A\cap B)=P(A)=\frac{1}{6}\), otteniamo \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{1}{6} \times 2=\frac{1}{3}.\]

Teorema del prodotto

Grazie alla probabilità condizionata otteniamo la seguente formula

\[P(A\cap B)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A).\]

Vediamo due esempi di utilizzo

Esempio 1. Due lanci di una moneta

Ritorniamo al caso dei due lanci di una moneta.  Si voglia calcolare la probabilità dell'uscita di due volte testa. Possiamo modellizzare questa situazione ponendo l'evento \(B=\{T\}\), uscita di testa al primo lancio in \(\Omega_1=\{T,C\}\) e \(A=\{T\}\), uscita di testa al secondo lancio in \(\Omega_2=\{T,C\}\).  La probabilità cercata all'interno del nuovo \(\Omega\) contenente i due lanci testa, \(A\cap B\),  sarà

\[P(A\cap B)=P(B)P(A|B)=\frac{1}{2}\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.\]

 In questo caso non abbiamo dovuto descrivere \(\Omega\), come fatto all'inzio di questo articolo. Si osservi inoltre che \(P(A|B)=P(A)\), cioè il fatto che nel precedente lancio sia uscita testa non modifica in alcun modo la probabilità del successvo lancio. I due eventi si dicono indipendenti.

 

Esempio 2. Due estrazioni da un'urna

Consideriamo un'urna contenente 3 palline rosse e 2 blu. Voglio calcolare la probabilità di estrarre entrambe le palline blu. Sia \(B\) La prima estrazione della pallina blu e \(A\) l'estrazione della seconda pallina blu. Allora

\[P(A\cap B)=P(B)P(A|B)=\frac{2}{5}\frac{1}{4}=\frac{1}{10}.\]

Si osservi che in questo caso \(P(A|B)\neq P(A)\), infatti il fatto che sia stata estratta già una pallina blu tra le 5, fa si che la seconda estrazione avvenga tra quattro palline delle quali una sola è blu!  In questo caso i due eventi si dicono dipendenti.