Circonferenza goniometrica e radianti

Si dice circonferenza goniometrica la circonferenza di raggio unitario avente il centro nell'origine degli assi cartesiani

Il punto A di intersezione della circonferenza con l'asse x viene detto origine degli archi.  Gli archi AB definiti sulla circonferenza goniometrica sono detti archi orientati con orientamento positivo se l'arco AB viene attraversato in senso antiorario da A a B e negativo nel caso opposto (nella figura l'arco AB ha valore positivo).

A questo punto diventa naturale associare ad un angolo il valore con segno dell'arco ad esso associato.

Tale angolo viene detto radiante, \(r\) per brevità. Per cui l'angolo piatto avrà un arco positivo associato di valore \(r=\pi\). Infatti la lunghezza di di tutta la circonferenza è \(2\pi R\), dove \(R=1\). D'altra parte l'arco associato all'angolo piatto è dato da mezza circonferenza dunque \(r=\frac{2\pi}{2}\).

 

L'angolo retto sarà  in radianti \(r=\frac{\pi}{2}\) e così via. Di seguito presento una tabella con angoli più frequentemente usati e loro corrispettivo in radianti.

30°	\(\frac{\pi}{6}\)
45°	\(\frac{\pi}{4}\)
60°	\(\frac{\pi}{3}\)
90°	\(\frac{\pi}{2}\)
180°	\(\pi\)
270°	\(\frac{3}{2}\pi\)
360°	\(2\pi\)

 

Per una formula generale per calcolare la conversione di un angolo da gradi in radianti e viceversa è sufficiente considerare la seguente proporzione

\[ r:2\pi=g:360^o \] dove \(r\) è l'angolo in radianti e \(g\) è l'angolo in gradi. Essa equivale alla equazione \[ \frac{r}{2\pi}=\frac{g}{360^o}. \] Otteniamo tramite la seconda proprietà fondamentale delle equazioni \[ r=\frac{\pi}{180^o}g,\,\,\,\,g=\frac{180^o}{\pi}r. \] Prova a verificare i valori della tabella.