Equazioni

Una equazione è una uguaglianza di due espressioni algebriche (una espressione algebrica può essere ad esempio un numero, un monomio, un polinomio) del tipo

\[A=B.\]

A viene detto primo membro della equazione, B secondo membro. Un semplice esempio di equazione è il seguente

\[2=2.\]

Le equazioni godono di due fondamentali proprietà le quali ci forniscono una equazione equivalente (cioè che ha le stesse soluzioni) da una equazione data. Sia C una qualunque espressione algebrica allora

1. \(A+C=B+C\) (prima proprietà fondamentale).
2. \(A\cdot C=B \cdot C\) (seconda proprietà fondamentale).

Vediamo degli esempi. Grazie alla prima proprietà se sommo ad entrambi i membri della equazione 2=2 il valore C=3 ottengo

\[2+3=2+3\]

cioè

\[5=5\]

che è anch'essa una equazione banalmente vera (detta anche identità). Grazie alla seconda proprietà se moltiplico ad entrambi i membri della equazione 2=2 il valore C=3 ottengo

\[2 \cdot 3=2 \cdot 3\]

cioè

\[6=6\]

anche questa volta vera. Proviamo a dare un esempio più concreto ed utile sulle due proprietà fondamentali.

Sabrina sapendo che Giancarlo ha 43 anni dice: 

"Il doppio della mia età accresciuta di 7 anni è uguale alla tua età. Qual è la mia età?"

Giancarlo conoscendo il linguaggio algebrico traduce quanto detto da Sabrina nella equazione

\[2x+7=43\]

Giancarlo vuole conoscere il valore di x (detto radice della equazione). Come primo passo vuole "eliminare" l'addendo 7  (l'addendo è l'elemento di una somma) dal primo membro della equazione ed applica la prima proprietà ponendo C=-7 ed ottiene

\[2x+7-7=43-7\]

cioè

\[2x=36.\]

Bene! La soluzione è vicina. A questo punto Giancarlo deve eliminare il fattore 2 (il fattore è l'elemento di un prodotto) dal primo membro dell'equazione. L'obbiettivo è raggiunto dividendo il primo membro per 2. O equivalentemente moltiplicandolo per 1/2. Quindi Giancarlo applica la seconda proprietà ponendo C=1/2. Ed ottiene

\[2x\frac{1}{2}=36\frac{1}{2}\] cioè \[x=18\]

Dunque Sabrina ha 18 anni!